Les Nombres Premiers : utilité et méthodes
J'aimeDéfinition
Un nombre premier est un nombre entier qui n'est divisible que par 1 et lui-même. Nous reviendrons sur le concept de la divisibilité par la suite. Il est important de noter que le nombre 1 n'est pas un nombre premier, car il n'a qu'un seul diviseur.
Voici les nombres premiers inférieurs à 30 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 et 29. (Il est conseillé de les apprendre par cœur pour faciliter les réflexions ultérieures.)
Méthode pour Identifier un Nombre Premier
Pour vérifier si un nombre n'est premier, on peut essayer de le diviser par tous les nombres premiers inférieurs ou égaux à √n. Si aucun de ces nombres ne divise n de manière exacte, alors n'est premier.
Exemple :
Pour vérifier si 31 est un nombre premier, nous testons les divisions par les nombres premiers inférieurs ou égaux à √31, c'est-à-dire 2, 3 et 5. Aucune de ces divisions ne donne un quotient entier, donc 31 est un nombre premier.
La Divisibilité
Un nombre a est divisible par un nombre b si, lors de la division euclidienne de a par b, le reste est nul.
Exemple :
42 ÷ 6 = 7
On peut alors dire que 42 est divisible par 6.
Critères de Divisibilité
Il existe quelques astuces pour savoir si un chiffre est divisible par certains nombres. On appelle ces astuces les critères de divisibilité :
- Divisible par 2 : Un nombre entier est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.
- Divisible par 3 : Un nombre entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3.
- Divisible par 4 : Un nombre entier est divisible par 4 si les deux derniers chiffres sont divisibles par 4.
- Divisible par 5 : Un nombre entier est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5.
- Divisible par 6 : Un nombre entier est divisible par 6 si le nombre est à la fois divisible par 2 et par 3.
- Divisible par 7 : Un nombre entier est divisible par 7 si, lorsque l’on double le chiffre des unités et qu’on le soustrait aux autres chiffres, le résultat est divisible par 7.
- Divisible par 9 : Un nombre entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9.
- Divisible par 10 : Un nombre entier est divisible par 10 si son chiffre des unités est 0.
Exemples de vérification de divisibilité :
- 142 est divisible par 2, car son chiffre des unités est 2.
- 156 est divisible par 3 car la somme de ses chiffres (1 + 5 + 6 = 12) est un multiple de 3.
- 284 est divisible par 4 car les deux derniers chiffres (84) sont divisibles par 4.
- 175 est divisible par 5 car son chiffre des unités est 5.
- 264 est divisible par 6 car il est divisible par 2 et par 3.
- 203 est divisible par 7 car, en doublant le chiffre des unités et en le soustrayant des autres chiffres (20 - 6 = 14), le résultat est divisible par 7.
- 936 est divisible par 9 car la somme de ses chiffres (9 + 3 + 6 = 18) est un multiple de 9.
- 150 est divisible par 10 car son chiffre des unités est 0.
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Décomposition en Produit de Facteurs Premiers
Tout nombre entier supérieur ou égal à 2 peut être décomposé en une multiplication de nombres premiers. Décomposer des nombres en produit de facteurs premiers a plusieurs utilités, comme la simplification de fractions, la recherche du plus grand commun diviseur (PGCD) ou encore du plus petit commun multiple (PPCM).
Exemple :
La décomposition de 84 en facteurs premiers est :
84 = 2 × 2 × 3 × 7
Ce qui peut aussi s'écrire :
84 = 2² × 3 × 7
Simplification de Fractions
- Décomposons 72 et 108 en facteurs premiers :
- 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3
- 108 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3
- En annulant les facteurs communs, nous obtenons :
Trouver le PGCD (plus grand commun diviseur)
Pour trouver le PGCD de 72 et 108, prenons les facteurs premiers communs avec les plus petits exposants :
- 72 = 2³ × 3²
- 108 = 2² × 3³
Le PGCD est 2² x 3² = 36.
Trouver le PPCM (plus petit commun multiple)
Pour trouver le PPCM de 72 et 108, prenons les facteurs premiers avec les plus grands exposants :
- 72 = 2³ × 3²
- 108 = 2² × 3³
Le PPCM est 23 × 33 = 216.
