Suite numérique

Bonsoir Kirumii, Je découvre votre question à laquelle je donne une réponse rapide au passage : La réponse est clairement oui car on a bien l'implication : Si u(n)^2--------->0 alors u(n) ---------> 0. Cela tient à la continuité de la fonction racine carrée sur IR+ et au fait qu'on a l'équivalence suivante : u(n) ---------> 0 si et seulement si |u(n)| ---------> 0. L'implication souhaitée est alors une conséquence immédiate de la définition séquentielle de la continuité et du fait que pour tout réel x, on a racine_carrée(x^2) = |x|. Pour établir cette équivalence, il suffit d'utiliser la définition de la limite d'une suite et l'inégalité classique suivante : Pour tous réels x, y, on a ||x|- |y||<= |x-y|. REMARQUE : On peut aussi montrer très facilement l'implication en raisonnant par contraposée : Il s'agit alors de prouver l'implication contraposée suivante : Si u(n) ne tend pas vers 0 alors u(n)^2 ne tend pas vers 0. En effet si u(n) ne tend pas vers 0, alors il existe un réel e >0 tel que pour tout rang N de IN, il existe un entier n >=N tel que |u(n)|> racine_carrée(e). En passant aux carrés il vient alors |u(n)|^2> e ; c'est-à-dire : |u(n)^2| > e. Cela prouve que u(n)^2 ne tend pas vers 0. Et par contraposée, on a montré l'implication souhaitée. J'espère que mes explications sont claires en tout point et si ce n'est pas le cas, n'hésitez pas Kirumii à me le dire.